Artikel Peluang matematika

PELUANG A. Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi 1. Kaidah Pencacahan Apabila peristiwa pertama dapat terjadi dalam p cara berbeda, peristiwa kedua q cara berbeda, peristiwa ketiga r cara berbeda, dan seterusnya, maka banyaknya cara yang berbeda terhadap rangkaian berurutan seperti itu adalah = p x q r x .. 2. Faktorial Perkalian n bilangan asli pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n! n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 1) x n atau n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 4 x 3 x 2 x 1 3. Permutasi Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan diperhatikan disebut permutasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan nPr atau P(n,r) atau atau Pn,r a. Banyaknya permutasi n unsur berbeda disusun n unsur(seluruhnya) adalah : P = n! b. Banyaknya Permutasi yang dapat disusun dari n anggota suatu himpunan diambil r unsur anggota pada satu saat adalah : c. Banyaknya permutasi jika ada beberapa elemen/unsur yang sama adalah : d. Banyaknya permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara melingkar dengan memperhatikan urutannya(arah putarannya) adalah : P = (n – 1)! 4. Kombinasi Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan tidak diperhatikan disebut Kombinasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan nCr atau C(n,r) atau atau Cn,r Kombinasi n unsur berbeda disusun r unsur dirumuskan : 5. Binomial Newton B. Peluang Suatu Kejadian 1. Dalam suatu percobaan :  Semua hasil yang mungkin disebut ruang sampel  Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel  Hasil yang diharapkan disebut kejadian Definisi Peluang Peluang kejadian A dinotasikan dengan P(A) adalah perbandingan banyaknya hasil kejadian A dinotasikan n(A) terhadap banyaknya semua hasil yang mungkin dinotasikan dengan n(S) dalam suatu percobaan. Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1. Jika P(A) = 0 disebut kemustahilan dan P(A) = 1 disebut kepastian Frekuensi Harapan Frekuensi Harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan dalam beberapa kali percobaan Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali maka frekuensi harapan kejadian A dirumuskan : Fh(A) = n x P(A) Peluang Komplemen Suatu Kejadian Jika Ac kejadian selain A, maka P(A)c = 1 – P(A) atau P(A)c + P(A) = 1 P(A)c = peluang komplemen kejadian A atau peluang kejadian selain kejadian A Kejadian Majemuk Untuk sembarang kejadian A atau B berlaku : Peluang dua Kejadian saling lepas(asing) Jika maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian saling lepas artinya bila terjadi A tidak mungkin terjadi B. Besarnya peluang dua kejadian saling lepas(asing) adalah : Peluang dua kejadian saling bebas Bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya B dan sebaliknya, maka kejadian semacam ini disebut dua kejadian saling bebas Peluang dua kejadian saling bebas dirumuskan : Peluang dua kejadian tak bebas(bersyarat/bergantungan) Apabila kejadian kedua(B) adalah kejadian setelah terjadinya kejadian pertama A, dinotasikan (B/A), maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian tak bebas(bersyarat) Peluang dua kejadian tak bebas dirumuskan : CONTOH SOAL 1. Faktorial 4! = 4*3*2*1 =24 6!= 6*5*4*3*2*1= 640 2. Permutasi a. berapakah banyak permutasi dari 4 huruf A,b,C,dan D ? jawab : sebuah contoh permutasi atau susunan 4 huruf dalam suatu urutan adalah Huruf pertama Huruf kedua Huruf ketiga huruf ke empat B D A C menggunakan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah : 4x3x2x1 = 4! =24 b. hitung tiap permutasi berikut : P42= 4! = 4! = 1*2*3*4 = 3*4 =12 (4-2)! 2! 1*2 c. berapa banyak susunan huruf yang dapat di bentuk dari huruf-huruf : B,E,R,J,E,J,E, dan R ? Jawab : banyak unsur n =8, banyak unsur yang sama k = 3 (untuk huruf E ), l = 2 ( untuk huruf R ) dan m = 2 ( untuk huruf j ). P = 8! = 1x2x3x4x5x6x7x8 = 5x6x7x8 =1.680 3! 2! 2! ( 1x2x3) (1x2) (1x2) jadi, banyak susunan huruf yang dapat di bentuk dari huruf-huruf B,E,R,J,E,J,E< dan R ada 1.680 macam. d. misalnya ada 4 orang A (ani) , B (boy), C ( carli), dan D (doni) menempati empat buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. berapa banyak susunan yang dapat terjadi ? Jawab : Banyak unsur n = 4, maka banyak permutasi siklis dari 4 unsur itu seluruhnya ada Psiklis = (4 -1)! = 3! = 1x2x3x =6 jadi, banyaknya susunan yang dapat terjadi ada 6 macam . 2. Kombinasi hitunglah kombinasi di bawah ini ! - C25 = 5! = 5! = 1x2x3x42x5 = 2x5 =10 2! (5-2)! 2!3! (1x2 ) (1x2x3 ) B. peluang suatu kejadian 1. Frekuensi harapan Bibit ikan lele yang ditebarkan pada sebuah kolam mempunyai peluang hidup 0,92 jika ke dalam kolam itu di tebar bibit ikan lele sebanyak 7.000 ekor,berapa banyak ikan lele yang diharapkan hidup ? Jawab : Banyak bibit ikan lele yang ditebar n= 7.000. misalkan E adalah kejadian ikan lele hidup, maka P(E) = 0,92. Fh(E) = n x P(E) = 7.000 x 0.92 = 6.440 jadi, banyak ikan lele yang di harapkan hidup adalah 6.440 ekor 2. Peluang komplemen suatu kejadian Sebuah dadu berisi enam di lemapr sekali. brerapa peluang kejadian munculnya mata dadu bukan angka 2 . jawab : misalkan E’ adalah kejadian munculnya mata dadu angka 2 , maka E = {2} dan P (E) = 1/6. jika E’ adalah kejadian munculnya mata dadu bukan 2, maka E’ adalah komplemen kejadian E , sehingga berlaku hubungan P(E’) = 1 – P(E)  P(E’) = 1- 1/6=5/6 jadi, peluang kejadian munculnya mata dadu bukan 2 adalah 5/6. 3.Peluang kejadian majemuk berdasarkan hasil penelitian yang di lakukan pada suatu wilayah tentang kepemilikan TV dan radio di peroleh data 2% warga memiliki TV, 40% warga memiliki radio dan 15% warga memiliki TV dan radio . dari wilayah itu di pilih satu warga secara acak, berapa peluang warga tersebut memiliki TV atau radio ? jawab : misalkan A adalah himpunan warga yang memiliki TV, maka P (A) = 20/100. B adalah himpunan warga yang memiliki radio, maka P (B) = 40/100 A n b adalahhimpunan warga yang memiliki TV dan radio maka P (AnB)= 15/100 P(AUB)= p(A)+P(B)-P(A n B ) = 20/100+ 40/100-15/100=45/100=0,45 jadin peluang seorang warga yang di pilih memiliki TV atau radio adalah 0,45